TRANSMISSION LINES PART I

TRANSMISSION LINES

APlikasi dari teori electromagnetic yang pertama kali harus dipelajari adalah Transmission Line. Contoh dari transmission line adalah power line, telephone line, dan jaringan tv kabel.

1.       Distributed-Parameter Model

Ada beberapa contoh dual conductor transmission line yang umum digunakan. Pertama adalah twin lead T-line. Twin lead salah satunya digunakan untuk menghubungkan TV dengan antenna. Kemudian Coaxial T-Line yang biasanya digunakan untuk mengoneksikan peralatan dengan frekuensi tinggi. Sedangkan Microstrip T-Line biasa digunakan pada circuit board. Microstrip T-line dibuat dari tembaga yang telah dielektropasi dalam alumina (Al₂O₃). Kemudian microstrip ini seluruhnya dilapisi oleh lapisan-lapisan tembaga.Coaxial cable adalah T line yang baik karena mampu menahan noise sehingga hanya sedikit yang keluar dari kabel begitu juga sebaliknya, sedikit sekali noise yang bisa masuk ke dalam saluran transmisi. Konduktansinya dapat dihitung sebagai berikut:

Sedangkan kapasitansi dielektriknya:

Telegraphist’s equation

2. Time-Harmonic Waves on Transmission Lines

Jika tegangan adalah sebuah fungsi sinusoidal terhadap waktu, dapat direpresentasikan pada posisi dan waktu sepanjang T-line dengan persamaan berikut:

 Tetapi jika V(z) hanya bergantung pada posisi sepanjang jalur transmisi, maka:

Kita tidak perlu lagi melakukan penurunan secara partial karena phasor hanyalah fungsi posisi. Persamaan di atas diturunkan menjadi,

 Dimana merupakan konstanta propagasi yang didefinisikan:

Characteristic Impedance

Karakteristik Impedansi Zo didefiniskan sebagai rasio dari amplitude gelombang tegangan dengan amplito dari gelombang arus yang mengalir,

 Lossless Line

Secara komersial, transmission  lines dibuat dari konduktor yang baik seperti tembaga yang mempunyai R’ relative kecil. Saluran transmisi ini juga dibuat dari dielektrik yang baik seperti Teflon dan polyethylene yang mempuyai G’ kecil. Juka R’<<wL’ dan G’<<wC’, kita dapat mengasumsikan bahwa R’=C’=0, sehingga pada kasus ini konstanta propagasinya adalah

 Dan konstanta fasa adalah:

Sehingga kita dapat menghitung kecepatan propagasi sebagai berikut:

 3. Terminated T-Lines

Kebanyakan dari persoalan yang berhubungan dengan T-Lines adalah tentang apa yang terjadi ketika jalur transmisi terputus. Jika kita memperhatikan gambar 6-6, besar Z_L dapat dihitung sebagai berikut:

 Melalui persamaan 6.50 kita dapat menghitung degree of impedance mismatch yang direpresentasi kan oleh koefien refleksi sebagai berikut

 Secara umum, koefisien refleksi di setiap titik pada T-line dapat dihitung dengan:

 Voltage Standing Wave Ratio (VSWR) adalah rasio amplitude tegangan maximum dan minimum yang terjadi akibat superposisi oleh incident and reflected wave dapat dihitung sebangai berikut:

 Impedansi Inputan

Impedansi inputan pada gambar 6.8 adalah:

 Dapat disederhanakan dengan identitas euler menjadi:

 Dan untuk lossless case persamaan ini menjadi

PLANE WAVE I

Jika terdapat sebuah sumber medan listrik yang berubah terhadap waktu, melalui hukum ampere akan didapatkan adanya medan magnet yang terinduksi disekitarnya, karena medan magnet ini juga berubah terhadap waktu, dengan hokum faraday akan didapatkan medan lisrik yang terinduksi. Energy yang berpindah pindah dari bentuk E ke H dan sebaliknya diradiasikan menjaauh dari titik sumber dengan kecepatan cahaya. Medan inilah yang membentuk gelombang elektromagnetik

Gelombang ini teradiasi dalam bentuk bola, namun pada jarak yang jauh akan membentuk gelombang datar yang uniform. Dengan fasa dan magnitude yang sama untuk setiap titik di muka gelombang.

Sebelum masuk ke persamaan gelombang. Kita review dulu persamaan Maxwell dalam bentuk titik:

        (1)

Pada ruang hampa, parameter σ = 0 , ε_r = 1 , μ_r = 1, maka hokum ampere dan hokum faraday akan menjadi:

  (2)           

A. GENERAL WAVE EQUATIONS   

Jika mediumnya tidak bermuatan, maka ∇ . D = 0. Dari persamaan (2) jika dicari curl kedua ruas maka akan didapatkan

PROPAGATION IN LOSSLESS, CHARGE FREE MEDIA


Dengan menerapkan hubungan dari curl, divergence dan laplasian, persamaan di ruas kiri akan menjadi:

Karena mediumnya tidak bermuatan maka persamaan diatas akan menjadi :

Dan dengan menerapkan sifat perkalian vector pada ruas kanan, maka ruas kanan akan menjadi:

Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan (1) pada persamaan diatas akan didapatkan:

Dengan menggabungkan ruas kiri dan ruas kanan didapatkan persamaan gelombang Helmholtz dengan bentuk:

Time Harmonic Wave Equation

Dengan menggunakan kesamaan ∂E_s/∂t sama dengan j E_s maka persamaan gelombang Helmholtz akan menjadi:

Atau

    (3)

Dimana adalah konstanta propagasi yang besarnya:

Dimana adalah konstanta attenuasi dan konstanta fasa.

Menerapkan persamaan Helmhotz ini untuk time-harminic fields, misalkan sebuah gelombang berjalan searah sumbu z :

Dengan mensubtitusikan persamaan diatas ke persamaan (3) didapatkan:

Persamaan ini merupakan persamaan orde kedua, dengan mengunakan pemecahan trivial, persamaan diatas akan menghasikkan solusi:

Dimana dan A adalah sembarang konstanta, dengan meujikan dengan solusi trivial ini ditambah dengan pengaplikasian persamaan euler akan didapatkan:

dan

Maka solusi umumnya adalah gabungan dari kedua persamaan diatas yaitu:

        (4)

atau

 

Dengan metode yang sama dicari persamaan untuk H, yang mana akan didapatkan

      (5)

Pada persamaan (4) jika dicari curlnya akan didapatkan:

Dengan mensubtitusikan nilai ini pada hokum faraday,

 diperoleh:

Dengan membandingka hasil yang didapatkan pada persamaan di atas dengan persamaan (5) akan diperoleh hubungan antara E₀ dengan H₀ yang didefinisikan dengan  (eta) yaitu impedansi dalam dari medium.

dengan mensubtitusi

  Didapatkan:

Dimisalkan pada suatu kondisi paling sederhana yaitu medium tanpa muatan (ρ_v = 0) konduktivitasnya juga nol (). Dengan kata lain gelombangnya berada pada ruang hampa. Maka konstanta propagasi akan bernilai:

  Karena yang ada hanya komponen imajiner () maka nilai dapat ditentukan

  Nilai juga dapat ditentukan, yaitu:

Setiap dielektrikum memiliki "loss" yang berbeda-beda. Medan listrik berpengaruh pada rapat arus . Adanya E dan J mengakibatkan adanya energi yang terdisipasi\

   Permitivitas kompleks, biasanya ditulis sebagai

  Dengan menerapkan persamaan ampere

  Konduktifitas efektif dari persamaan diatas adalah:

 
Untuk menemukan konstanta propagasinya dapat ditentukan dengan, dimana konstanta propagasi adalah:

  Jika kita anggap
maka:

  Dengan menyamakan bagian ril dan bagian imaginer pada kedua persamaan diatas, dapa kita tentukan masing-masing nilai dan , yaitu:

  Low Loss Dielectric

Low loss dielectric adalah bahan dielektrik yang mempunyai loss tangen yang kecil (). Dengan memanfaatkan deret binomial, yaitu:

Jika x<<1, maka:

Jadi kita akan dapatkan:

Dengan memasukkan nilai ini ke persamaan (5) diperoleh:


Dimana nilai dapat diganti dengan nilai



Loss Tangent


Loss tangent adalah standart pengukuran loss, dimana dinyatakan dengan:

good dielectric

good conductor (kecuali dalam frekuensi VHF)

1. PROPAGATION IN CONDUCTORS
   
   
   Pada bahan konduktor, nilai loss tangen, , jadi pada persamaan dan sebelumnya dapat ditentukan:
   
   
    
   Dengan kata lain nilai dan akan sama, yaitu :
   
   
   
     Selanjutnya nilai impedansi intrisik, diperoleh dengan:
   
   
   
    dengan mensubtutusikan :
   
   
   
   
   Kedalam persamaan diatas didapatkan:
   
   
    dapat kita lihat pada persamaan diatas, medan magnet mendahului medan listrik sebesar 45^o nilai konstanta attenuasi yang besar berarti medan tidak dapat meramabat jauh ke dalam konduktor.